Peter's Math Pages

For God's sake, I beseech you, give it up. Fear it no less than sensual passions because it, too, may take all your time, and deprive you of your health, peace of mind, and happiness in life. (W. Bolyai)

Hier finden Sie einige Dinge, die schon meine Helden Leonhard Euler, Bernhard Riemann und Srinivasa Ramanujan bewegt haben.

 

• Fast Factorial Functions. [fff]
  Ein Kampf gegen die Dummheit, die Fakultät als n! = n*(n-1)! zu berechnen. Diese Seite ist im berühmten "Dictionary of Algorithms and Data Structures" des amerikanischen National Institute of Standards and Technology (NIST) aufgeführt und ist die am meisten besuchte Seite meiner Homepage.
  
• Publishing math on the web. [pmw]
  Dies stellt Anforderungen an den Schreiber aber auch an den Browser des Lesers. Wenn Sie diesen für das Lesen anspruchsvollerer Mathematikseiten im Internet fit machen wollen, dann könnten die Hinweise auf dieser Seite für Sie nützlich sein. (In diesem Jahr 2011 experimentiere ich dazu auch mit twitter.)
  
• Eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten. [vbc]
  Diese Seite können Sie dann gleich als Testseite für einen gut eingerichteten Browser verwenden. Andernfalls dürfte der Text wahrscheinlich etwas seltsam aussehen.
  
• Perfect and Optimal Rulers. [rul]
  Die Früchte einer langen Diskussion in der Newsgroup de.sci.mathematik. Diese Seite ist mein stiller Favorit. Leider wird dieses Thema in der gängigen Literatur so gut wie nicht beachtet. Hier die Einführung in das Thema [inr]. B. Wichmann hat sich die Seite angeschaut und sie hat ihm gefallen. Meine Frage: Are optimal rulers Wichmann rulers? [wrc] wurde von Hugo Pförtner als Vermutung in die Welt getragen.
  
• Sind die Bernoulli Zahlen falsch definiert? [bernoulli]
  Oder: Die riemannsche Funktionalgleichung als Grundlage der Bernoulli und Euler Funktion. Diese Streitschrift hat viel Staub aufgewirbelt, da ich es wagte, Donald E. Knuth nach seiner Meinung dazu zu fragen. Meine Anfrage, Dons Antwort und meine bisher unveröffentlichte Erwiderung 'The Bernoulli number are the children of the zeta function. . . On the definition of the Bernoulli number' sind hier dokumentiert.
  
• The Swiss-Knife polynomials [skp]
  sind eine Familie von faszinierenden Polynomen mit deren Hilfe man eine Vielzahl von klassischen Zahlenfolgen beschreiben und besonders einfach berechnen kann. Ich habe sie im Frühjahr 2008 entdeckt. Auf OEIS unter A153641. Sie führen auf eine additive Zerlegung der Euler, Bernoulli, Genocchi, Springer und Tangent Zahlen, die ich hier beschreibe. Die Swiss-Knife Polynome übertreffen in gewisser Weise sogar die Euler Polynome.
• Ist die Gammafunktion falsch definiert? [gdef]
  Ein weiterer Beitrag aus meiner beliebten Serie: "Ist ~ falsch definiert?" Hier bügeln wir der Gammafunktion ihre Singularitäten aus. David W. Cantrell hatte mich auf die Spur von M. Jacques Hadamard gesetzt (dessen schwer zugängliche Originalarbeit ich nachge-TeX-ted habe und die von dieser Seite als pdf-Datei geladen werden kann).
• Approximationen an die Fakultätsfunktion. [appf]
  Eine Standardseite im Internet (nach meiner bescheidenen Einschätzung -- in der Tat steht sie bei mindestens einer Suchmaschine an erster Stelle, wenn man 'factorial' eingibt). Es wird nicht nur ein umfassender Überblick über Näherungen an die Gammafunktion gegeben, sondern auch neue, nirgends anderswo zu findende hochwertige konvergente Näherungen.
• Das kleinste gemeinsame Vielfache des Anfangsabschnitts der natürlichen Zahlen als Produkt von Sinuswerten über Farey Folgen. [LcmFarey] Angeregt durch einen Artikel von Greg Martin, auf de.sci.mathematik und in anderen Foren diskutiert, ist schließlich ein kleines Paper daraus geworden, geschrieben zusammen mit Stefan Wehmeier.
  
• Partitionen ganzer Zahlen [part]
  sind eines der faszinierendsten Themen an der Schnittstelle zwischen Zahlentheorie und Kombinatorik. Hier beschreibe ich die algorithmische Seite, führe den Begriff des Partitionsproduktes ein und verwende diesen zur systematischen Erzeugung der Partitionen vom Stirlingschen Typ.
  
• Von Staudt Primzahlen [vst]
  sind eng mit den Bernoulli Zahlen verknüpft. Ihnen liegt eine berühmte Beobachtung von von Staudt und Clausen aus dem Jahr 1840 zu Grunde. Ich gebe ihre Definition an, Methoden zu ihrer Berechnung und stelle die Frage, ob es unendlich viele von Staudt Primzahlen gibt.
  
• Verallgemeinerte Clausen Zahlen [vcz]
  kann man dazu verwenden verallgemeinerte Bernoulli Polynome zu normalisieren. Die hier angedeuteten Zusammenhänge sind noch nicht ausgelotet.
  
• Schwingende Primzahlen [swp]
  sind neu. Vielleicht habe ich sie erfunden. Noch gibt es zu wenig Feedback zu diesem Themenkreis. Scheuen Sie sich nicht mir Ihre Anmerkungen zu schreiben.  
  
• Die schwingende Fakultät [swf]
  ist die kleine Schwester der altehrwürdigen Eulerschen Fakultät. Hier gebe ich eine erste Orientierung und Einordnung im Rahmen von OEIS 'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences'.  Ich hoffe dazu demnächst noch mehr erzählen zu können.
  
• Die grafische Darstellung [asy] der schwingenden Fakultät in verschiedenen Variationen und mit verschiedenen Programmen. Auch als schönes Applet und pdf-Datei.
  
• Die Primfakultät. [pfc]
  Nachdem jahrelang auf der deutschen Wikipedia haarsträubender Unsinn über die Primfakultät stand und trotz mehrfacher Hinweise von mir von den Autoren nicht zurückgenommen wurde, habe ich diese Darstellung geschrieben. Der Artikel steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. Dank an Paul Pollak!
• A deterministic primality test in polynomial-time.
  Das war damals eine kleine Sensation, über die ich einen Artikel in der Frankfurter Allgemeinen Zeitung [FAZ] geschrieben habe. Unmittelbar nach Bekanntwerden des Algorithmus, am 6. August 2002, habe ich versucht ihn mit Maple zu implementieren. Mittlerweile zwar obsolet, so sind die darin gesammelten Beiträge aus dem Usenet vielleicht auch heute für einen Einsteiger noch interessant. [aks]
  
• Zur Berechnung irregulärer Primzahlen. [bip]
  Ich schrieb damals: What a summer for good old Kummer! Thomas Mautsch hat kräftig mitgeholfen.
• Inklusionen der Bernoulli und Euler Zahlen. [ibz]
  Echt coole Formeln, besser als die, welche demnächst beim Internet-Nachfolger des HMF (Handbook of Mathematical Functions) zu finden sein werden.
• Fillebrowns [fill] Methode zur Berechnung der Bernoulli Zahlen mit Maple aufgeschrieben.
  
• Eine zahlentheoretische Vermutung. [dsm]
  Ich setze eine Prämie von 100 Euro aus für den Ersten, der sie beweist oder widerlegt.
  
• Eine Zahlenfolge und mehr.
  Obwohl mir noch nie jemand die Frage gestellt hat, welches meine Lieblingszahlenfolge ist, möchte ich sie hier beantworten. 0, 0, 1, 0, 4, 0, 7, 2, 7, 5, 13, 0, 17, 9, 12, 8, 23, 5, 27, 8, 21, 20, 34, 1, ... Beauty is in the eye of the beholder. [rhz] Zum Glück kann man die Arbeit von J. C. Lagarias über den dort angegebenen Link beziehen.
  
• Einige Zahlendreiecke habe ich in einer kleinen Encyclopedia of Combinatorial Triangles (ECT) beschrieben.
  
• Einen Baum gepflanzt
  habe ich auch, allerdings einen binären Baum, der alle gekürzten, nicht negativen rationalen Zahlen genau einmal enthält.
  
• Varianten der Variationen. [vdv]
  Eine Wagenladung von Zahlenfolgen für die OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). N. J. A. Sloane war begeistert und hat selbst Hand mit angelegt beim Einschaufeln in seine Scheune.
• OEIS steht für 'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences'. Ich habe für OEIS neue Einträge geschrieben sowie Kommentare und Code-Schnipsel hinzugefügt. Wenn Sie es genauer wissen wollen, klicken Sie hier. Wenn Sie dann Einzelheiten sehen wollen, klicken Sie in den angezeigten Seiten auf die Registernummern, die etwa so aussehen A153641.
  Im OeisWiki habe ich auch eine user-page. Dort habe ich einigen kleine Artikel in meinem sogenannten Blog geschrieben. Für das eigentliche OeisWicki hatte ich diesen Artikel über die Eulerschen Polynome geschrieben (wenn Sie einen mathematischen Font installiert haben wählen Sie diese Version).
• Zumkeller Zahlen sind eine relativ neue 'Erfindung'. Hier ist noch ein weites Feld zur Erkundung offen. [zum]
  
• Was ist ein Diffeomorphimus? [diff]
  Bisweilen schreibe ich kleine Beiträge für Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Natürlich spiegelt der gegenwärtige Stand meinen Beitrag nicht mehr wider, weil ja ständig an ihm verbessert wird, leider manchmal auch verschlimmbessert. Viele Beiträge habe ich in der englischen Wikipedia unter einem Pseudonym geschrieben und sehe mittlerweile Übersetzungen dieser Artikel in der spanischen, italienischen, ungarischen und deutschen Wikipedia stehen.
  
• Zur Geschichte der Fakultätsfunktion. [gff]
  Basierend auf einem Artikel von Detlef Gronau. Es scheint unwiderlegbar zu sein: Die erste in der Literatur nachweisbare Definition der Gammafunktion stammt von Daniel Bernoulli in einem Brief an Goldbach vom 6. Oktober 1729. Und nicht von Euler. Ehre wem Ehre gebührt! Interessant dazu auch: Gamma versus Fakultät. [gvf]
• Über Stieltjes' Kettenbruch für die Gammafunktion. [sgf]
  Schön wenn Leute wie Richard J. Fateman auf Beiträge im Usenet reagieren, so wie hier. Gibt nebenbei noch einen netten Einblick in die Entwicklung des Rechnens - von J. Binet und T. J. Stieltjes über H. Rutishauser, P. Henrici und B. W. Char bis heute.
• Adaptive Quadratur. [aqu]
  Eine Maple-Implementierung der extrapolierten Simpson-Regel und Gautschis Kronrod-Erweiterung der Lobatto-Regel. Geschrieben, nachdem sich in der Maple-Newsgroup Schreckensmeldungen über das Versagen der Maple-Routine häuften.
  
• 'Even the wisest and most prudent people often suffer from what logicians call insufficient enumeration of cases.' schrieb Jakob Bernoulli. Um eine vollständige Auflistung von Orbitalen (die in ihrer Gesamtheit einen Verband bilden) in einer graphisch ansprechenden Form geht es hier. [orb]
  
• Berechnung von Pi mittels Extrapolation. [pix]
  Berechnung von Pi mittels Extrapolation basierend auf der eulerschen Integraldarstellung der gaussschen hypergeometrischen Funktion. Dies war die erste mathematische Seite, die ich im World Wide Web veröffentlicht habe, im Jahr 2000.
  
• Hier gibt es externes Lesefutter: The Electronic Library of Mathematics. Und hier allgemeiner eine wertvolle Sammlung von Resources in Mathematics. Schließlich noch ein gelungenes mathematisches Magazin auch für den Nichtmathematiker.
• Eine grosse Mathematikerin: Claire Voisin löste das Kodaira-Problem und die Vermutung von Green und sie ist Mutter von 5 Kindern. Im Januar 2009 leitet sie zwei Konferenzen am IHES zum Thema "Mathematical Heritage of Grothendieck". Übrigens, raten Sie mal wer der Herr auf dem Bild da oben in der rechten Ecke dieser Seite ist. 
• Ein grosser Mathematiker: Wer den Herren auf dem Bild nicht kennt, aber den Werdegang der Mathematik in den letzten 50 Jahren wenigsten im Ansatz verstehen will, sollte ihn kennenlernen. Zur Einführung Winfried Scharlau in der Zeit. Aber das hier ist ein Filetstück: Das erste Kapitel eines Buches über Alexander Grothendieck. Ein 'work in progress'.
• We don’t understand the math, but can we get the mathematicians? Ok, so look into their faces.
• 'Comme me l'assurait Nicolas Bourbaki encore hier soir.. au cafe de flore..' [disc1]
  In der Newsgroup de.sci.mathematik war ich mehrere Jahre aktiver Teilnehmer. Eine Zeitlang war dies ein vergnüglicher Ort des Lernens und Diskutierens. [discs2]  Google fand einmal etwa 4000 Beiträge von mir, fährt aber mittlerweile die Newsgroups durch die Google-Groups bewusst in den Keller und alte Beiträge sind teilweise nur mehr schwierig zu finden.  
  
• Ni fleurs ni wreath products.
  So habe ich mich in Frankreich gerne verabschiedet, zumindest von den Freunden in der Rue René Descartes. Tatsächlich eine der traurigsten Nachrichten in der Mathematikgeschichte. Hier das einmalige Zeitdokument [bou], das mir W. Sternemann freundlicherweise eigescannt hat, und von dem er erzählt, dass es 'damals' in Münster am math. Institut von Prof. Behnke kursierte. Im gleichen Geist auch diese Visitenkarte, die man bei André Weil bei seiner Verhaftung fand. Hier wird eine Suche nach der königlich Poldavischen Akademie erzählt.
   
  
• Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain: les mathématiques aujourd'hui. (Video)
  À tous nos frères en Bourbaki, salut et bénédiction!
  

Hier eine kleine Übersicht über die Artikel auf dieser Website.

Rational Trees	Factorial Functions	Eulerian Polynomials	vonStaudt Primes	Irregular Primes	Generalized Binomial
Bernoulli Manifesto	Partitions Stirling	Zeta Polynomials	Perfect Rulers	Swinging Primes	Clausen Numbers
Hadamard Gamma	History Factorial	Permutation Trees	Swiss Knife	Swinging Factorial	Worpitzky Triangle
Bernoulli Transform	Euler Numbers	Arithmetic Conjecture	Condor Gamma	Adaptive Quadrature	Farey Sin&Lcm

Einige der obenstehenden Beiträge finden sich auch auf meinem Blog auf dem Wiki von oeis.org, andere, wie zum Beispiel "Set partitions", "Lost Catalan Numbers" oder "Multifactorials" finden sich nur im Wiki.

Rational Trees	Factorial Approx	Eulerian Polynomials	Erdös Graham	Set partitions	Lost Catalan Numbers
Euler Bernoulli	Strong Coprimality	Zeta Polynomials	Optimal Rulers	Lost Pascal	Motzkin Riordan
Multi- Factorials	Partition Trees	Permutation Trees	Swiss Knife	Swinging Primes	Schinzel Sierpinski
Worpitzky Numbers	Generalized Binomial	Double Enumerations	Euler's Totient	Figurate numbers	Notation matters

[Last edited: 2011-10-10]